Multiperiodic multifractal martingale measures

A nonnegative 1-periodic multifractal measure on R is obtained as infinite random product of harmonics of a 1-periodic function W(t). Such infinite products are statistically self-affine and generalize certain Riesz products with random phases. They are martingale structures, therefore converge. The criterion on W for nondegeneracy is provided. It differs completely from those for other known random measures constructed as martingale limits of multiplicative processes. In particular, it is very sensitive to small changes in W(t). When these infinite products are interpreted in the framework of thermodynamic formalism for random transformations, logW is a potential function when W > 0. For regular enough potentials, in case of degeneracy, the natural normalization makes the sequence of measures converge. Moreover, this normalization is neutral for nondegenerate martingales. The multifractal analysis of the limit martingale measure is performed for a class of potential functions having a dense countable set of jump points.  2003 Elsevier SAS. All rights reserved. Résumé On construit sur R une mesure aléatoire positive 1-périodique comme limite d’une suite de mesures aléatoires dont les densités sont des produits d’harmoniques d’une fonction 1-périodique W . Les mesures « produits infinis » ainsi obtenues sont statistiquement auto-affines. Elles généralisent certains produits de Riesz avec phases. Elles existent parce que la suite des densités est une martingale. On obtient la CNS sur W pour que la limite soit non dégénérée. Cette condition est très différente de celle obtenue pour les autres mesures connues comme limites de processus multiplicatifs de nature martingale. En particulier, elle est très sensible à de petites perturbations de W . Plaçant ces produits infinis dans le contexte du formalisme thermodynamique pour des transformations aléa* Corresponding author. E-mail addresses: [email protected] (J. Barral), [email protected] (M.-O. Coppens), [email protected], [email protected] (B.B. Mandelbrot). 1 With O. Meunier assistance for the numerical simulations. 0021-7824/$ – see front matter  2003 Elsevier SAS. All rights reserved. doi:10.1016/S0021-7824(03)00035-7 1556 J. Barral et al. / J. Math. Pures Appl. 82 (2003) 1555–1589 toires, logW est un potentiel lorsque W > 0. Pour les potentiels assez réguliers donnant lieu à une limite dégénérée, la normalisation naturelle rend la suite de mesures convergente ; elle ne modifie pas les martingales non dégénérées. L’analyse multifractale des mesures limites non dégénérées est obtenue pour une classe de potentiels présentant un ensemble dense de points de saut.  2003 Elsevier SAS. All rights reserved. MSC: 28A80; 37H15; 60G10; 60G18; 60G42; 60G57